散文精选网高斯定理例题
高斯定理是针对静止点电荷形成的静电场进行分析，并得到结论，但是对静电场和时变场都成立（目前为止物理学还没有发现矛盾）。
麦克斯韦后来总结时变电、磁场的性质时，把高斯定理作为电场的基础，它的地位很重要。
矢量分析3-通量和散度
研究电场强度E的性质，首先从通量和散度开始。电场是个矢量，所以先不必管它的梯度。在具体进行通量运算之前，先看一个立体角概念。
立体角是指过一点的射线扫出了一个锥面，这个锥面所限定的空间。针对上图的模型，从O’点出发扫出了锥面，在空间距离R处有个截面，截面的面积是dS，方向是任意的：与距离R有个夹角theta。
面元dS对O’点的立体角是：
上图中，第一行是面元dS所对应的立体角。对这个面元在整个曲面积分，可以得到完整的立体角，也就是上图第二个公式。
立体角的计算结果有个性质：封闭曲面对其内部任一点所张的立体角是4pi，而外部的点所张立体角为零。利用这个性质，可以轻松推导出电场强度的通量，也就是高斯定理。
上图第一行公式，是对E在闭合有向曲面计算通量，通过比较发现，积分内容正好是闭合曲面所张立体角。
高斯定理：电场在闭合曲面上的通量，等于该曲面所包围空间内部的电量总和（代数和）与介电常数的比值。实际中点电荷往往不存在，高斯定理对分布电荷也成立，这需要通过精确的积分计算。
第一个公式，对左侧应用散度定理，将闭合曲面上的面积分推广至三维体积分。然后比较公式二，发现方程的左右两侧都是体积分，而体积是任意的，因而若积分成立，必须被积函数相等。
于是得到了高斯定理的微分形式，很重要。
下边给一道例题，通过高斯定理计算电场强度。
这道题很简单，考察内容也十分明确：使用高斯定理列方程时，右侧一定是闭合曲面内部所包围的电荷总量。
这一条守则十分十分重要，应用高斯定理一定需要对称性存在：若电场强度存在某种对称性，按照这个对称性做一个高斯面，在高斯面上的积分可以通过对称性把矢量乘法转换为标量乘法。
简单说，将电场强度提取出积分运算以外。
通过电场求解电荷密度，明显是高斯定理的微分形式，计算电场强度的散度即可。
稍微注意一下球坐标系中的散度公式，虽然整体形式看起来比较麻烦，但是稍微仔细一些，不难发现电场强度的球坐标系表示式中，第二项和第三项分量都不存在（就是沿着theta和phy这两个变量的方向，没有相应的电场分量）。
除了开头的散度，这里还需要了解：
坐标系
静电场1–库仑定律
有兴趣的顺便看看旋度：矢量分析4-环量和旋度
