散文精选网函数单调性
函数的单调性
前言：在几日前的一个晚上，利用腾讯会议，我们学校数学教研组长及团队发展培训计划，就函数单调性的教学（第一二节课）组织了集体备课活动。尽管函数单调性的文章近乎“无穷多”，我想就此把一些备课的要点用文本的方式写下来，也许是值得的。
高中数学课程中，函数单调性的教学是函数性质起始课，对教师和学生来说都显得很重要。函数单调性的教学仍然是数学概念课的教学。高中数学教师非常清楚地意识到要与初中函数增减性要有区别，也就是说初中利用一次函数（含正比例函数）、反比例函数和二次函数的图像，直观认识函数增减性，高中要求严格证明函数增减性或者叫单调性。有如下一些现象或者问题需要我们思考。
1. 利用天气图像或者其他生活情境，或者初中一次函数、二次函数引入函数单调性概念是否就足够？
2. 函数单调性概念的来源是什么？函数单调性概念为什么是基本性质？为什么函数单调性非常重要？这几个问题的内涵都是一致的。
3. 函数单调性概念与函数概念之间的关系是什么？
4. 高中证明函数单调性与初中的区别是什么？函数单调性的证明与函数单调性的讨论有何不同？
（一）发展
初中函数单调性到高中函数单调性，不仅仅是数学形式化语言的发展。
初中函数教学整体上只要求直观认识，不论是函数图像的获得，还是函数性质的研究，进而函数性质的表示方法都是直观的。这与初中函数概念采用“变量说”紧密相关。初中函数的变量说，自变量与函数值的范围是通过图像获得，而图像是通过描点猜想得到。因此，在初中教学中，这种现象普遍存在，既符合教学实际，也是课程标准的要求，当然与学生的抽象思维水平也是相符合的。
高中数学课程和数学教材，无论是函数概念或者函数性质的引入，都延续了初中的路子，从实际问题看图识别，同时又利用初中通过直观得到的事实（一次函数、二次函数等），把初中函数的性质用所谓形式化符号语言刻画。这好像就完成了初中到高中函数概念及其性质的学习。这种现象需要进一步反思。
诚然，从天气图像，股票走势，心电图，棉花价格等等实际问题，可以观察到一些具体单调性的现象，再而回顾一次函数、二次函数更规范地观察到函数的单调性，这些操作都是需要的，也是与学生思维发展一致的。但仅仅由此而抽象出函数单调性的概念，用符号化语言加以刻画，就与初中教学的区别不大。这种区别仅仅体现出初中学生好像无法理解符号语言形式化，高中学生就有能力理解符号语言形式化。
初中与高中对函数单调性概念的理解的区别，更要紧的是体现于（函数）概念与（单调性）概念的联系上，即不仅要从生活与直观引入数学概念，更要从数学本体上引入数学概念。我们今天不想深入分析概念与概念的联系的重要性，只是就函数单调性发声。
（关于生活与直观，也可以参见扒一扒“运算律”）
（二）什么是函数单调性
我们当然不复述教材的定义。对一切事物，如果想要深入理解，我们都可以反复追问“它究竟是什么”。
根据函数概念的定义，在原像集合A中任意取一个元素x，都存在唯一的像f(x)。再取一个不同的x′，存在f (x′)。到目前为止，都是在运用函数概念。
当我们考虑原像子集中的元素序关系时，问经过f的作用映射后的像是否保持同序或反序。这就是函数单调性概念的数学实质。
从数学本体看，完全可以由函数概念的定义产生函数单调性概念的定义。
如果对函数单调性的理解不仅是从教材所谓形式化定义，更能从序关系理解，就能初步理解函数单调性的学习是函数概念学习的深化，或者说函数概念的研究是函数单调性研究的基础。
同样的道理，从函数的原像集合元素的相等关系到函数像集合的元素的相等关系，就可以得到其他函数性质的定义，并且可以自由生长各种函数性质，不仅仅是函数的奇偶性、周期性。无论什么性质，都来源于原像集合A（或者其子集）元素的序关系或相等关系，比如有界性，对称性等等。
为什么序关系是基本关系呢？参考扒一扒“运算律”。
（三）为什么函数单调性非常重要
前面我们分析了函数单调性的本质是序关系，进而我们问序关系为什么重要？
根据实数构造方式之一，即实数公理体系方法。（1）我们可以发现序关系是基本公理，序关系决定了实数（有理数）是可以比较的。
只有加法和乘法的运算律，只能等到一些代数恒等式，无法得到不等式关系。要想得到实数的不等关系，必须承认序关系（见F克莱因的《高观点下的初等数学》）。（2）实数的完备性公理事实上也是由单调性给出。完备性公理：如果实数集合的一个真子集是有上界的，那么它一定有上确界。而完备性公理决定实数的连续性，从而使得直线上的点与实数一一对应。
以上两点表面，序关系是数学的最基本关系，而单调性恰恰反映函数的原像集合的序关系与像集合的序关系的关系，所以函数单调性是函数的基本性质中的基本。从而从数学本体解释了函数单调性是决定函数其他性质的根本原因。尽管我们不否认教学中用实际问题作为引入，不否认教学中函数图像的直观性的作用，但只有外在的理解，缺失数学本质的理解，将使得学生认为数学概念的产生及其重要与否，是由实际问题导致，是由数学概念的外延（或直观）导致的。这会极大地失去数学价值，认为数学作为基础科学的原因是她有广泛的应用性，这种认识是非常浅显的，不足的。
只是从直观看，知道了函数的单调性就能知道函数图像的大致走向，就能初步确定函数的其他性质，这些教学中常常出现的经验性语言，不足以揭示单调性的重要性。
（四）函数单调性与函数概念联系
其实前面的分析已经大致回到了这个问题，下面是更细致的分析。
函数单调性要刻画的是在一个给定的区间，函数值的序关系与函数原像的序关系保持同序或反序。首先要讨论你研究的这个给定区间是不是函数定义域的一个子集，并且是以区间形式存在的子集。这就必然要分析函数的原像集合A，也就是说研究函数的定义域是必要的。而函数的定义域是属于函数概念的组成。不讨论函数的定义域，直接讨论函数的单调性是行不通的。在具体函数中，如果函数存在间断点的话，单调性只能是分别讨论。从函数的像的序关系到函数的原像的序关系，这才是初中与高中函数单调性的本质差异，才是仅仅用生活或直观不能替代的差异。结合生活与直观，加上高中函数概念（映射说），这样的发展与升华，是有意义的。尽管这是有点难度的事情，尽管在教学处理上需要更多的艺术手段，但值得尝试。
结论：函数单调性是函数概念的深化，函数单调性概念的学习是函数概念的再次学习。
（五）证明与讨论1.回到教学实际，教师在面临二次函数y＝x∧2的单调性证明时，常常根据图像（直观）发现x＞0和＜0时，函数是增函数和减函数，再来通过运算证明。
此处有两个地方不妥。其一，图像来自初中的学习结果，初中是通过描点得到图像，如何保证图像与增（减）函数是一致的？本来是想通过所谓的严格证明得到二次函数单调性，现在又回到直观再来证明函数单调性，逻辑上是存在问题的。既然证明，就直接从定义出发，通过运算即可，不用回到初中的图像直观。其二，证明单调性和讨论（分析）单调性是不同的。证明相对简单，只要你给我一个区间，我来根据定义运算即可。
讨论函数单调性是反问题，也就是不能回去看图像再来证明，如果这样的话，就与证明单调性一样了。那么问题是，你如何通过图像（神一般预知）知道一个函数的单调区间呢？我们举例如下。
从上面的解题过程可以发现，这种讨论单调性的方法，正是以后常用方法，特别是导数运算有了以后，我们总是分析函数的像（函数值）如何如何，从而得到函数的原像（函数的自变量值）如何如何，进而得到单调区间。
因此，在教学中要讲清楚，证明函数单调性，可能不要求对函数定义域都讨论，只需证明题目給的区间。比如证明函数y＝x∧2在（0，1）是增函数是一个证明题，证明y＝x∧2在（0，＋∞）是增函数都是证明题。两者在学习效果上没有区别（换成证明单调区间也一样）。
但是，讨论函数的单调性就完全不同，需要对函数定义域全部覆盖，不能留一个空格（单点除外）。在没有导数运算之前，讨论单调性就是解不等式，求不等式的解集。自然地对很多函数来说，求不等式的解集不容易。
2.对“任意”的理解和教学
教师总是反映学生对函数单调性定义中的“任意“二字”的理解不到位，怎么解决？
所谓“任意”理解不到位或者会犯错误，根本原因还是函数单调性概念与函数概念之间的联系出现问题。不管如何研究函数，研究函数的什么性质，都不能离开函数概念。函数概念的集合A和集合B，给定函数f，首要需要确认A。单调性是刻画A中的序关系到B中的序关系，自然要问A中的序关系是如何构成的，是连成一片的（定义域A为一个区间），还是分割成好几块（定义域A是多个区间的并集）。连成一片就需要讨论定义域A中所有的元素之间的序关系，也就是任意（这并不表明定义域A会成为一个单调区间，可能会有几个单调区间组成A,比如y=x^2）。分割为好几块就需要一块一块的讨论，最后要求的单调区间，不能跨块求单调区间（跨区间任意取值，就会有间断点。如f(x)=1/x，你考虑f(x)在集合M=（-3，0）∪（0，+3）上是否单调的话，就存在0这个间断点），所以要在各块中任意。这些都是原理分析，不可能直接讲给学生听，让学生遇到各种各样的定义域和各种单调区间，才会在操作层面理解“任意”。
事实上，任意一点都不任意，受函数概念（定义域集合A）约束。
（作者: 王建明）
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