正定矩阵是什么意思正定矩阵是什么样子-散文精选网

正定矩阵是什么？

正定矩阵:是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

什么事正定矩阵？正定矩阵的性质有哪些？

对于对称矩阵A,若对任意非零向量x，都有x*AX>0成立，则称A为正定。如果A是正定矩阵，那么a[i][i]一定大于0。因为，a[i][i]=ei*Aei>0. 其中，ei为第i个单位向量。

正定矩阵的发展史？

在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中.但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵.1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念.他给出了正定矩阵较为广义的定义.1985年，李炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义.1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广.

他给出了推广正定矩阵的各种定义.1988

年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广.他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论.1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合.他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵.

在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用.除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关内容进行了研究，同样取得了巨大的成就.

近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来.这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面.它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘

正定矩阵的条件？

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

正定矩阵的定义？

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量,X=(x_1,…x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵

正定矩阵的问题？

一．定义因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：令a为阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有＜0（≤ 0），则称a负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵e 就是正定矩阵。二．正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的 n 个特征值全是正数。

证明：若，则有 ∴λ＞0 反之，必存在u使即有这就证明了a正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。

证明：a正定二次型正定 a的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵u使；进一步有（b为正定（半正定）矩阵）。

证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使令则令则反之， ∴a正定。

同理可证a为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素，且。

证明：

（1）∵n阶对称矩阵a正定 ∴ 是正定二次型现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有 ∴ ∴a正定 ∴存在可逆矩阵c ，使 5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的 n 个顺序主子式全大于零。证明：必要性：设二次型是正定的对每个k,k=1,2,…,n,令，现证是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵是正定矩阵即即a的顺序主子式全大于零。