线性回归中自变量对数变换后的系数解释为(线性回归中自变量对数变换后的系数解释是什么)

在线性回归分析中，经常会遇到需要进行变量变换的情况，而对数变换则是实际中十分常见的一种变换，根据我个人遇到的情况，很有可能是最常见的。
变换有好处有坏处，好处不用多说，使其满足线性关系，仍然可以按线性拟合。不好处是增加了解释的复杂程度，变换后的解释往往不像我们表面上看起来的那样简单。本文主要对这一问题进行说明。假定有下面这样一份数据，以x拟合y。ln(x）表示对x做的对数变换。
我们可以先看一下x与y的关系，如下图所示：再看y与lnx的关系，如下图所示：很明显，x与y的关系并不是线性关系，对x进行对数变换后，lnx与y的关系呈线性关系。因此我们拟合y=a+b*lnx这一模型。结果如下：预测结果如下：结果显示，截距为27.121，lnx的斜率为-4.525。
下面我们就专门来说一下斜率的解释问题。首先，把lnx看做一个变量的话，其解释就是我们经常说的：x每增加1个单位，因变量y的变化幅度。在这里也就是说：lnx每增加1个单位，y平均降低4.525。再通过上述例子的数据说的更具体一点。数据的最后一行中，lnx为2.71，预测的y值为14.867。当lnx增加1个单位，也就是lnx+1，变成了3.71，这时预测y应该是多少呢？很简单，在原有预测值基础上降低4.525，也就是14.867-4.525=10.342。到此为止，一切都与传统的解释无异。相信也不难理解。但是有时如果我们不关心lnx的变化，而更想看x的变化如何引起y的变化，这就不好解释了。下面就重点说一下x的变化如何影响y的变化。不好解释的原因在于，对于线性模型而言，系数值只是针对它对应的变量，不管这个变量是x也好，还是lnx或sqrt(x）也好，对它来说都一样。要了解x本身，我们就必须从lnx转到x。lnx+1，相当于lnx+lne，也就是ln(x*e)，而e=2.71828，也就是说，当x增加到271.828%的时候（即x*2.71828），相当于lnx+1。还是以最后一行数据为例，最后一行数据的x值为15，增加到271.828%后，变为15*271.828%=40.77，此时lnx即ln(40.77)为3.71，恰好等于lnx+1也就是2.71+1。所以，对于x而言，很难说x增加1个单位的问题，只能说x增加百分比的问题（这就得理解x的加法在对数中就是乘法）。然而，即便是说增加百分比，通常我们可能也不习惯说：x增加了171%后的变化，听起来总是挺别扭。起码我们可以说增加1%、10%等的变化，可能就舒服多了。以增加1%为例，如果x增加1%，此时y的变化幅度是ln(101/100)*回归系数。比如该例最后1行数据，x为15，增加1%变为15*1.01=15.15，此时y的变化为：ln(101/100)*(-4.52)=-0.045，也就是说，当x值增加1%，y平均降低0.045。我们可以验证一下，x=15时预测值为14.867，而x=15.15时预测值为14.822，二者差值为0.045。同样，增加10%以此类推，计算ln(110/100)*回归系数即可。最后结论：如果你对x进行了对数变换，可以直接解释lnx，此时解释与常规方式相同，可以说lnx每增加1个单位，y的变化幅度为回归系数值。如果你想解释x，可以说：x每增加1%、10%等，y的变化情况，此时y的变化幅度为ln(101/100)*回归系数、ln(110/100)*回归系数，等。