第二数学归纳法(二次数学归纳法)-散文精选网

数学归纳法可分为第一数学归纳法和第二数学归纳法

第一数学归纳法是:

(1)证明n=1时成立

(2)假设n=k时成立,证明n=k+1时成立

第二数学归纳法是:

(1)证明n=1,2,……,m时命题成立

(2)假设n<=k(k>=m)时成立，证明n=k+1时成立

可以这样分析：因为n=1,2,……,m时成立，即n<=m时命题成立，可令k=m,则根据归纳假设（2)有n=k+1=m+1时成立，那么就有n<=m+1时成立，此时k=m+1,再根据假设(2)有n=k+1=m+2时也成立，……，如此不断推导下去，就有命题对n∈N都成立。

所谓二重数学归纳法就是此时m=2的情形，比如证明一个数列通项公式an=f(n)（猜想得来的），利用递归式a(n+2)=pa(n+1)+qan,p、q为常数，此时用二重数学归纳法

先证n=1,2时a1=f(1),a2=f(2)

再假设n<=k(k>=2时成立，证明n=k+1时成立，这时利用了n=k和n=k-1时命题也成立的假设来证明即a(k+1)=pak+qa(k-1)=pf(k)+qf(k-1)=f(k+1).

此外，数学归纳法还有许多变形，如反向数学归纳法等

PEANO公理（也叫自然数公理）的一条公设就是归纳法公设，其是数学归纳法的理论依据，即某自然数的子集P包含1,还包含所有数的后继数，则集合P就是自然数集N。

用数学归纳法证明1+12++13+……+12^n(n+1)2
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

一，在数物体个数的时候，用来表示物体的个数的1，2，3，4，…..叫自然数，一个物体也没有的用0表示，没有最大的自然数，自然数都是整数。二，自然的数有两方面的意义有两方面，一是表示满意事物的多少，称基数，二是表示事物的次序，称序数。如有3个学生，3是基数，第3个学生是序数。三0表示一个也没有，表示正负数的分界，表示起点，计数时0还起占位作用。

关于数学长弗拜煌之号瓣铜抱扩归纳法的问题…1+2+3+…+n = r(r+1) –—– 2其中有一步是:r(r+1) r(r+1)+2(r+1)—— + (r+1) = ————- 2 2=(r+1)(r+2) ———- 2为什么是这个过程呢？
数学归纳法就是长弗拜煌之号瓣铜抱扩你设个第一项出来然后第N项和第N＋1项都满足就成立你这个地方就是验证第R+1项也满足

时成立，再证明出n=k+1时成立，所以ok。但是我个人而言，这一证明过程有重大疏漏。你n=1成立你确实是证明了，n=k+1成立你也确实是证明了，但是你n=k时成立你只是假设他成立啊，即便后来n=k+1成立了，也是在n=k成立这个假设成立的前提下进行的。你怎么就知道n=k时他是成立的？那万一n=k假设不成立呢？你证明n=k+1成立其实也是白搭。难道你要说n=k+1成立反证出了n=k这一假设是成立的？？
假设n=k成立，n=k就是条件，无条件成立，假设什么成立不需要条件。

用数学归纳法的话，光是(n+1)的5次方就够解的了。本题要另辟蹊径。n^5-5n^3+4n=n^5-n+n-n-4n+4n-4n+4n=n(n-1)+n(n-1)-4n(n-1)-4n(n-1)=(n-1)(n+n-4n-4n)=(n-1)[n(n+1)-4n(n+1)]=n(n-1)(n+1)(n-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)从结果可以看出，n=0，1，2时，(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)都=0，除以120都等于0，是整数。n≥3时，是5个连续正整数的乘积。乏定催剐诎溉挫税旦粳120=1×2×3×4×5=5!n^5-5n^3+4n=(n+2)!(n-3)!n≥8时，(n-3)!中包含5!，即120是(n-3)!的因子，因此n≥8时，(n^5-5n^3+4n)120一定是整数。现在只需考虑n=3，4，5，6，7的情况。n=3时，(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=1×2×3×4×5=120，能被120整除。n=4，5，6时，(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)都包含因子4，5，6。4×5×6=120，即都包含因子120，能被120整除。n=7时，(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=5×6×7×8×9=120×126，包含因子120，能被120整除。综上，得n∈N，(n^5-5n^3+4n)120恒为整数。

求证 n为自然数时， 1(n+1)+1(n+2)+……..+1(2n+1) 1
(1)当n=1时，左=12+13=561成立;(2)设当n=k时成立，则 1(k+1)+1(k+2)+……..+1(2k+1) 1;(3)当n=k+1时，左= 1(k+2)+1(k+3)+……..+1(2k+3) =[ 1(k+1)+1(k+2)+……..+1(2k+1) ]+[1(2k+2)+1(2k+3)—1(k+1)]其中第一个中括号1;第二个中括号=—1(2k+2)+1(2k+3)=—1(2k+2)(2k+3)0对任何正整数k均成立;两中括号相加=左项0，成立。由(1)(2)(3)得原命题对所有正整数n均成立

比如1＋2＋3＋……＋n=12n（n＋1）高手你懂的！！
（1）1n(n+1)=1n-1(n+1) ，1（n-1）-1n1n21n-1n+1（n≥2）（2）1(2n-1)(2n+1)=12[1(2n-1)-1(2n+1)]（3）1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]（4）1(√a+√b)=[1(a-b)](√a-√b)（5） n·n!=(n+1)!-n!（6）1（√n+√（n+a））=1a（√（n+a）-√n）一、倒序相加法二、错位相消法三、拆项分组法四、裂项相消法五、奇偶数讨论法六、通项公式法七、综合法

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