全微分公式推导(全微分方程的三种基本解法)-散文精选网

全增量是这点的X增加△X，Y增加△Y，△Z=f(X1+△X，Y1+△Y)-f(X1，Y1），且对△Z取极限等于0，那么△Z就是函数Z=f(X，Y)在点（X1,Y1）处的全增量，也就是X，Y同时获得增量。

全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。以二元函数z=f(x，y)为例，考虑一点(x，y)，当该点受到扰动后，实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息，那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)就是全增量。

函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数，全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。

如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

设函数z=f（x,y）在点P（x,y）的某邻域内有定义，P‘（x+△x，y+△y）为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差△z=f（x+△x，y+△y）- f（x，y）称为函数在点P（x,y）对应自变量△x，△y的全增量。

1. 利用链式法则求全微分。链式法则是指如果一个函数 $y=f(u)$ 和另一个函数 $v=g(u)$ 满足 $v=g(u)=u^n+a_{n-1}u^{n-2}+cdots+a_1u+a_0$,则有：

frac{dy}{du}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=v'(x)cdot v(x)

其中，$v'(x)$ 表示 $v=g(u)$ 对 $u$ 的导数，$v(x)$ 表示 $v=g(u)$ 在点 $x$ 处的函数值。

2. 利用偏导数求全微分。偏导数是指函数在某一点处沿着某个坐标轴变化时，该坐标轴上的导数。因此，对于一个多元函数 $y=f(u_1, u_2, cdots, u_n)$,其在点 $(x_1, x_2, cdots, x_n)$ 处的全微分可以表示为：

frac{partial y}{partial x_i}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{partial f}{partial u_i}cdotfrac{partial u_i}{partial x_i}

其中，$frac{partial f}{partial u_i}$ 表示 $f$ 对第 $i$ 个自变量 $u_i$ 的偏导数，$frac{partial u_i}{partial x_i}$ 表示第 $i$ 个自变量 $u_i$ 对第 $j$ 个自变量 $x_j$ 的偏导数。<br/>

全微分公式推导(全微分方程的三种基本解法)