趣味数学故事——斐波拉契的兔子
斐波拉契的兔子
从前,有一个穷光棍,平时只知好吃懒做,不肯踏踏实实做事情,还经常想入非非做发财梦。一天,他在路边捡到一个鸡蛋,他非常高兴,捧着鸡蛋就在脑子里就盘算开了:“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡,等小鸡长大了,就可以生蛋,我再把生的蛋孵成鸡,这些鸡又可以生更多的蛋,蛋又可变成更多的鸡……过不了几年,我就可以把蛋和鸡去换许多钱,然后可以盖新房,还可以娶个漂亮媳妇,生儿育女……”他越想越高兴,不禁得意忘形手舞足蹈,忽听“啪”的一声,鸡蛋掉在地上,碎了!懒汉看着摔碎了的鸡蛋,放声痛哭:“哎呀,我的宝贝!我的房子呀!……”
上面这则笑话流传已久,对我们很有教育意义,然而恐怕谁都没有认真计算过:如果鸡蛋没有打碎,几年后这个懒汉究竟有多少只鸡,多少个蛋呢?不过,公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(Fibonacci,约1170-1250?)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用沙盘)中提出过一个“养兔问题”,却被无数人算过。这道题说的是:
某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔。再过一个月,大兔生了一对小兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔。如此下去,问一年后此人共有多少对兔子?
你能算清吗?不少同学恐怕看完题就已经动手算了,而且很快就算出了答案。不过对不对可不敢保证。说实在的,这题要算对并不那么容易,这可要不慌不忙细心地算才行。
通常可以列一个表来算这个题:
填了几行后,你就可以总结出几条结论:
(1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数。(因上个月的小兔这个月都长成大兔)
(2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数。(因上月大兔子这个月都需生一对小兔,而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子。)由(1)可知:每月小兔数就是前月的兔子总数。
(3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和。由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和。
若记第n个月的兔子数为fn,就有
f0+f1=f2,f1+f2=f3,f2+f3=f4……
一般的,有fn-2+fn-1=fn。有了这个规律,填这个表就很容易了。
你看,养一对兔子,一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了。
按这个规律,可以把兔子数一直写下去:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,……。
这样得出的一列数就称为“斐波拉契数列。”
波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题:
一棵树一年后长出一条新枝,新枝隔一年后成为老枝,老枝又可每年长出一条新枝,如此下去,十年后新枝将有多少?
这恰好也可以得到“斐波那契数”。
人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果。比如“斐”数与黄金分割(0.618)的关系,直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用;又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数,乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”。可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘。
小学数学故事:聪明的小男孩
从前,一个国王经常给身边的大臣出难题来取乐,如果大臣答对了,他将用小恩小惠给点赏赐;如果答不出来,那将受罚,甚至被砍头。
一天,国王指着宫里的一个池塘问:“谁能说出池子里有多少桶水,我就赏他珠宝。如果说不出来,我就要‘赏′你们每人50大鞭。”
大臣们被这突如其来的问题难住了。正在大臣们心慌意乱之际,走过来一个放牛的小男孩。他问清了事情的缘由之后说:“我愿意见见这位国王。”
大臣们把小男孩带到了国王身边。国王见眼前的小男孩又黑又瘦又小,便怀疑说:“这个问题答上来有奖,答不上来可要被砍头的,你知道吗”在场的人都替这个小男孩捏了一把汗,可小男孩却不慌不忙地回答出国王的问题。国王无奈之下,拿出珠宝奖励给了小男孩。同学们,你知道他是怎样回答的吗
其实,国王出的是一道条件不足的问题。在正常的思维模式下是无法找出正确答案的。小男孩正好抓住这一关键。
他是这样回答的:“这要看桶有多大:如果桶和池塘一样大,就是一桶水,如果桶只有池塘一半大,就是有两桶水;如果桶是池塘的三分之一大,就是3桶水……”小男孩实际上打破了习惯性的思维模式,对具体的问题进行具体的分析,他的头脑多么聪明,多么灵活啊!
数学经典小故事——曹冲称象
体会数学趣味,每天一个小故事。
古文:曹冲生五六岁,智意所及,有若成人之智。时孙权曾致巨象,太祖欲知其斤重,访之群下,咸莫能出其理。冲曰:“置象大船之上,而刻其水痕所至,称物以载之,则校可知矣。”太祖悦,即施行焉。
有一次,吴国孙权送给曹操一只大象,曹操十分高兴。大象运到许昌那天,曹操带领文武百官和小儿子曹冲,一同去看。
曹操的人都没有见过大象。这大象又高又大,光说腿就有大殿的柱子那么粗,人走近去比一比,还够不到它的肚子。曹操对大家说:“这只大象真是大,可是到底有多重呢?你们哪个有办法称它一称?” 嘿!这么大个家伙,可怎么称呢!大臣们都纷纷议论开了。
一个说:“只有造一杆顶大的秤来称。”
而另一个说:“这可要造多大一杆秤呀!再说,大象是活的,也没办法称呀!我看只有把它宰了,切成块儿称。”
他的话刚说完,所有的人都哈哈大笑起来。有人说:“你这个办法可不行啊,为了称重量,就把大象活活地宰了,不可惜吗?”
大臣们想了许多办法,一个个都行不通。可真叫人为难呀。
这时,从人群里走出一个小孩,对曹操说:“父亲,我有个法儿,可以称大象。”
曹操一看,正是他最心爱的儿子曹冲,就笑着说:“你小小年纪,有什么法子?你倒说说,看有没有道理。”
曹冲趴在曹操耳边,轻声地讲了起来。曹操一听连连叫好,吩咐左右立刻准备称象,然后对大臣们说:“走!咱们到河边看称象去!”
众大臣跟随曹操来到河边。河里停着一只大船,曹冲叫人把象牵到船上,等船身稳定了,在船舷上齐水面的地方,刻了一条道道。再叫人把象牵到岸上来,把大大小小的石头,一块一块地往船上装,船身就一点儿一点儿往下沉。等船身沉到刚才刻的那条道道和水面一样齐了,曹冲就叫人停止装石头。
大臣们睁大了眼睛,起先还摸不清是怎么回事,看到这里不由得连声称赞:“好办法!好办法!”现在谁都明白,只要把船里的石头都称一下,把重量加起来,就知道象有多重了。
曹操自然更加高兴了。他眯起眼睛看着儿子,又得意洋洋地望望大臣们,好像心里在说:“你们还不如我的这个小儿子聪明呢!”