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孙膑是如何杀死军事大将庞涓的？
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战国时代，有一位奇人异士，以谋略、兵法、纵横术闻名天下，精通百家学问，这位本领通天彻地的大人物便是鬼谷子先生。今天，我们来聊聊他的两位“兵学”弟子——庞涓和孙膑的故事！
庞涓和孙膑自幼拜在鬼谷子门下，二人亲如手足，共同习修兵法，以图日后出山建功。二人学成下山后，庞涓听闻魏国国君魏惠王正招贤纳士以自强，便去见了魏王，一番交谈后，魏惠王发现庞涓很有才能，便拜其为大将，庞涓一步登天。不久以后，机缘巧合下，孙膑也来到了魏国（一说魏国大臣举荐，一说庞涓举荐），两人一起在魏国朝野共事，此时，孙膑只是暂留魏国，并未想着在魏国长期立足。但庞涓心里不这样想啊：孙膑如果一直在魏国呆下去可不行，他的才能远远超过我，时间久了，魏王肯定会重用他，这样会影响我的仕途。于是，庞涓怒从心中起，恶向胆边生，在魏惠王面前诬陷孙膑私通齐国，魏惠王大怒，下令将孙膑囚禁，并在孙膑脸上刺了字，还剜掉了孙膑的两块膝盖骨，孙膑成了一个残疾人。后来孙膑装疯卖傻，瞒天过海，与一位出使魏国的齐国使臣一起回到齐国。因其才华出众，颇受齐威王的赏识，孙膑自此留在齐国。
公元前354年，魏惠王派庞涓率兵攻赵，赵国首都邯郸告急，乃派使臣求齐国发兵救赵。齐威王拜田忌为大将，孙膑为军师，出兵救赵。孙膑以“围点打援”之计（新战法，不直接将军队开到邯郸城下与魏军硬拼，而是直接攻击魏国国都大梁，迫使庞涓回师救援，齐军则在魏军必经之路桂陵一带埋伏好以逸待劳）大败魏军，此为“围魏救赵”典故由来。
在公元前341年，魏惠王又派庞涓率兵攻韩，彼时申不害正在韩国推行变法，韩国变法尚未成熟，实力弱小，远非老牌强国魏国对手，于是韩国也派使臣向齐国求援。齐王再一次派田忌、孙膑二人带兵救韩。孙膑先以“减灶计”示弱，后在马陵山区埋伏好，将魏国精锐部队一网打尽，庞涓被乱箭射死，孙膑大仇得报，魏国经过此战霸主地位丧失，沦为二流战国。而齐国和经历了“商鞅变法”后的秦国崛起，新的战国格局形成！
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其他网友回答
主要通过桂陵之战和马陵之战搞垮庞涓，真正为自己报了仇。
孙膑，齐国人，跟庞涓等师从鬼谷子【包括苏秦、张仪等牛人都是鬼谷子的徒弟】。孙膑军事才华过人，但比庞涓晚出山，此时的庞涓在魏国已经立稳脚跟，得到魏惠王的重用。庞涓担心孙膑的出山会威胁到自己的地位，于是陷害他通敌卖国，挖了他膝盖骨，以此让他再无出头之日。
后来孙膑逃到齐国，得到田忌的重用，田忌赛马正是孙膑的主意，田忌借此向齐威王推荐了孙膑。孙膑的复仇大幕正式开启。
Step1：桂陵之战
公元前354年，魏围攻赵都邯郸，次年赵向齐求救。齐王命田忌、孙膑率军援救。孙膑认为魏以精锐攻赵，国内空虚，遂引兵攻魏都大梁(今河南开封)，诱使魏将庞涓赶回应战。孙膑又在桂陵(今河南长垣)伏袭，大败魏军。孙膑在此战中避实击虚、攻其必救，创造了“围魏救赵”战法。
Step2：马陵之战
公元前342年，魏发兵攻韩，韩向齐求救。齐国救援韩国，与魏国交战，其中最著名的是“马陵之战”，齐国通过逐日减少营地军炤数目，误导庞涓轻敌冒进。齐国大败魏国，魏国主将庞涓自杀，太子申被虏。从此，魏国霸权衰落，齐国崛起。
就这样，孙膑终于为自己报了仇。
