什么是实数(数学极客：什么是实数？)

一场别开生面的数学之旅!
从数字的基本概念到计算机程序设计的新发展
节选自《数学极客：探索数字、逻辑、计算之美》, 已获机械出版社授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!
第三章 实数
Real Number
现在我们知道了自然数和整数，这是一个非常好的开始。但是还有很多其他类型的数等待我们去认识：小数和无理数等。我们将在后面介绍。为了理解数字，我们下一步将要学习一些有非整数部分的数，它们处于整数之间，比如1/2，-2/3和π。
现在，我们将看到的另一类数字是这样的：它们带有非整数部分，或者被称为实数。
在介绍实数的细节之前，需要提前说的是，我憎恨“实数”这个术语。因为它好像在暗示其他的数都不是真的，这点很愚蠢、令人讨厌和让人绝望，并且这个暗示并不是真的。事实上，这个术语本意是指虚数的另一面，虚数我们将在第8章介绍。虚数被命名为“虚构的”，好像是一个嘲弄（实数）的概念。因为实数这个术语已经根深蒂固，被大家广为接受，我们就只能忍一忍了。
有几种方法可以描述实数，我将使用其中的三种：首先是一个非正式的直观描述，然后是一个公理化定义，最后是一个构造性定义。
图自:维基百科
3.1　实数的非正式定义
一个非正式的、直观的描述实数的方法是使用我们在小学时学习过的数轴。想象一条直线，它向左右延伸到无穷。可以在这条直线上任意选择一个点，并且标记为0。在0的右边，你能圈出第二个点，并标记为1。0和1之间的距离就是任意两个相邻整数之间的距离。同样，向右继续走相同的距离，圈出另外一个记号并标记为2。继续这样圈出更多你想要标记的点。然后开始从0往左边标记，第一个点是-1，第二个点是-2，如此往复。这就是一条基本的数轴。我已经画了一个例子，如图3-1所示。在这个数轴上，任意选择一个点，都是一个真实的实数。0到1的一半距离是1/2，0到1/2的一半距离是1/4。不断地这样划分下去，在任意两个实数的中间，都能找到另外一个实数。
图3-1　数轴。实数可以用这样一条从0开始向两边延伸到无穷的长线表示
使用这个数轴，实数的很多重要属性都可以很完美并且很直观地表示出来。加法、减法、有序性以及连续性的思想都非常显而易见。乘法可能显得棘手点，但是也可以通过数轴来解释（你可以访问我的博客，其中有一篇文章介绍如何使用滑动窗口的方法来理解乘法的原理　http://scientopia.org/blogs/goodmath/2006/09/manual-calculation-using-aslide-rule-part-1）。
数轴给我们带来的不是真正的实数。它们是有理数。有理数是可以表示为简单分数的数的集合：它们是一个整数与另一个整数的比。如1/2、1/4、3/5、124342/58964958。当我们看数轴时，通常想到有理数。考虑一下前面描述的数轴：“你可以一直划分：在两个实数之间，总能找到另一个实数。”这个划分过程总是给我们提供一个有理数。把任何分数分成相等的数，结果仍然是一个分数。无论多少次使用有理数和整数进行划分，永远不会得到不是有理数的任何东西。
但是，即使使用有理数，数轴的缝隙也一直不会被填满。(我们知道一些数适合填充到这些缝隙——它们是无理数，像大家熟悉的π、e。我们将在第4章介绍无理数，在第6章介绍e。)看看有理数，很难看出缝隙是如何形成的。不管你做什么，不管两个有理数之间的距离有多小，都可以在它们之间设置无限数量的有理数。怎么会有缝隙呢？答案是，我们可以很容易地定义一个有限制的值序列，但是这些限制不可能是一个有理数。
对任何有理数的有限集合，把集合中的数加起来，其和是有理数。但是可以定义无限数量的有理数集合，当你把它们加起来时，结果不是一个有理数！下面是一个例子：
这个序列的每个项显然都是一个有理数。如果你依次算出前两项、前三项、前四项的结果，很快你会得到4.0，2.666…，3.4666…，2.8952…，3.3396…，在100000项之后，大约是3.14158。如果你继续进行下去，它显然会汇聚在某个特定的值上。但是，没有有理数的有限序列会完全与这个限制序列相同。这是一个限制数列，它显然是一个数；不管我们做什么，它绝不会完全等于一个有理数。它总是位于我们可以选择的两个有理数之间。
实数是整数、有理数以及那些与有理数之间的间隙相匹配的奇怪数字。
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作者者：Mark C.Chu-Carroll出版社：机械工业出版社出版年：2018年8月
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数学是美丽的，它既有趣又令人兴奋，同时也很实用。本书探讨了两千多年的数学发展历程中一些伟大的突破和有趣的话题：从埃及分数到图灵机，从数字 的真正意义到证明树、群对称和机械化计算。如果你想知道高中几何课中难以完成的证明背后到底隐藏着什么，或者什么限制了计算机的能力，本书将会带你找到答案。
作者从数字的基础开始带你开启美丽的数学之旅，首先通过探讨一些有趣的和奇怪的数字，如整数、自然数、有理数、超过数、零、黄金比例、虚数、罗马数字、埃及分数和连分数，带你领略数字的趣味性、数字之美和数字之用，然后深入研究现代逻辑，包括线性逻辑、Prolog语言等，以及现代集合论和现代机械化计算的进展与悖论，带你感受数学的逻辑性和计算性。
目录
序
译者简介
前言
第一部分　数　　字
第1章　自然数　/2
1.1　自然数的公理化定义　/3
1.2　使用皮亚诺归纳法　/6
第2章　整数　/8
2.1　什么是整数　/8
2.2　自然地构造整数　/10
第3章　实数　/14
3.1　实数的非正式定义　/14
3.2　实数的公理化定义　/17
3.3　实数的构造性定义　/20
第4章　无理数与超越数　/23
4.1　什么是无理数　/23
4.2　聚焦无理数　/24
4.3　无理数和超越数有什么意义，为什么它们很重要　/26
第二部分　有趣的数字第5章　零　/30
5.1　零的历史　/30
5.2　一个令人生厌的困难数字　/33
第6章　e：不自然的自然数　/36
6.1　无处不在的数字　/36
6.2　e的历史　/38
6.3　e有什么含义　/39
第7章　[CurlyPhi]：黄金比例　/41
7.1　什么是黄金比例　/42
7.2　荒唐的传奇　/44
7.3　黄金比例真正存在的地方　/46
第8章　i：虚数　/48
8.1　i的起源　/48
8.2　i是做什么的　/50
8.3　i有什么意义　/51
第三部分　书 写 数 字
第9章　罗马数字　/56
9.1　进位系统　/56
9.2　这场混乱来自哪里　/58
9.3　计算很简单（但是算盘更简单）　/59
9.4　传统的过失　/63第10章　埃及分数　/66
10.1　一场4000年前的数学考试　/66
10.2　斐波那契的贪婪算法　/67
10.3　有时美胜过实用　/69第11章　连分数　/70
11.1　连分数简介　/71
11.2　更干净，更清晰，纯粹是为了好玩　/73
11.3　作计算　/75
第四部分　逻　　辑
第12章　斯波克先生与不符合逻辑　/80
12.1　什么是真正的逻辑　/82
12.2　一阶谓词逻辑　/83
12.3　展示一些新东西　/88
第13章　证明、真理和树　/93
13.1　用树来建立简单的证明　/94
13.2　零基础的证明　/96
13.3　家族关系的例子　/98
13.4　分支证明　/100
第14章　使用逻辑编程　/103
14.1　计算家族关系　/104
14.2　使用逻辑计算　/109
第15章　时序推理　/118
15.1　随时间变化的命题　/119
15.2　CTL擅长什么　/124
第五部分　集　　合
第16章　康托尔对角化：无穷不仅是无穷　/128
16.1　朴素的集合　/128
16.2　康托尔对角化　/132
16.3　不要保持简单和直接　/136
第17章　公理化集合论：取其精华，去其糟粕　/139
17.1　ZFC集合论公理　/140
17.2　疯狂的选择　/147
17.3　为什么　/150
第18章　模型：用集合作为搭建数学世界的积木　/151
18.1　构建自然数　/152
18.2　从模型到模型：从自然数到整数，以及超越　/154
第19章　超限数：无限集的计数和排序　/158
19.1　超限基　/158
19.2　连续统假设　/160
19.3　无限何在　/161
第20章　群论：用集合寻找对称性　/164
20.1　费解的对称性　/164
20.2　不同的对称性　/168
20.3　走入历史　/170
20.4　对称性之源　/172
第六部分　机械化数学
第21章　有限状态机：从简单机器开始　/178
21.1　最简单的机器　/178
21.2　实际使用的有限状态机　/182
21.3　跨越鸿沟：从正则表达式到机器　/185
第22章　图灵机　/192
22.1　添加磁带让一切都变得不同　/193
22.2　变元：模仿机器的机器　/198
第23章　计算的核心与病态　/204
23.1　BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的　/206
23.2　图灵完备还是毫无意义　/209
23.3　从庄严到荒谬　/210
第24章　微积分：不是那个微积分，是[Lambda]演算　/213
24.1　写[Lambda]演算：几乎就是编程　/214
24.2　求值：运行　/218
24.3　编程语言与[Lambda]策略　/221
第25章　数字、布尔运算和递归　/224
25.1　[Lambda]演算是图灵完备的吗　/224
25.2　计算自身的数字　/225
25.3　决定？回到Church　/228
25.4　递归　/231
第26章　类型，类型，类型：对[Lambda]演算建模　/238
26.1　类型简介　/239
26.2　证明　/244
26.3　类型擅长什么　/246
第27章　停机问题　/248
27.1　一个杰出的失败　/249
27.2　是否停机　/251
参考文献　/256
3.2　实数的公理化定义
公理化的定义有多种方法，与数轴的定义类似，但是，公理化定义更加正式。公理化的定义不会告诉你怎么去获取实数，它只用一些建立在简单集合论和逻辑论基础上的规则来描述实数。
当我们利用一组相关组件来定义实数这样的事物时，数学家喜欢说他们定义的是一个对象。所以，我们将实数定义为一个多元组。构建一个多元组没有很深的含义，它只是一个收集组件到一个对象的方法。
实数由一个五元组（R，+，0，×，1，≤）定义，其中，R是一个无限的集合；“+”和“×”是对R中元素的二元运算，“0”和“1”是R中特别重要的元素，“≤”是R中元素的二元关系。
多元组的元素必须满足一组公理，称作域公理。实数是域这种数学结构的一个典型例子。域作为一种基础结构，在数学王国被广泛使用；你需要了解代数，才能了解域这种结构的基础。我们通常使用一个域公理集合来定义域。域公理集合比较耸人听闻，因此，我们不是一次把这些公理都列出来，而是在后面的小节逐个解释它们。
域公理第一部分：加法和乘法
我们先从最基础的公理开始。实数（所有值域）有两种主要的运算：加法和乘法。这两种运算需要在某种方式下合作。
（R，+，×）是一个域，这句话包括下面几点含义：
■ 在R上+、×是封闭的、完全的、自映射的。封闭的意思是：对于任意一对实数r和s，如果你将它们相加、相乘，那么r+s和r×s还是实数。完全的意思是：对于任意一对实数r和s，你都能做加法r+s或者乘法r×s。（可能这听起来很愚蠢，但是请记住：我们将很快介绍除法，而且对于除法来说，这条就不是真的，因为你不能除以零。）自映射的意思是：如果你有一个实数x，总能找到一对实数r和s或者t和u，使得等式r+s=x和t×u=x成立。
■“+”和“×”满足交换律：a+b=b+a，a×b=b×a。
■“×”对于每个“+”满足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。
■对于“+”运算，0是唯一的恒等值。对所有的a，a+0=a。
■对于R里面的每一个数x，有且只有一个数-x，称作x的加法逆元，满足x+（-x）=0，并且对于所有x≠0，x≠-x。
■对于“×”运算，1是唯一的恒等值。对所有的a，a×1=a。
■除了0以外的任意实数，有且只有一个实数x-1，称作x的乘法逆元，满足x×x-1=1，并且除非x=1，否则x和x-1不会相等。
如果将这些都翻译成通俗语言，你会发现它们并没有很难理解的地方。这些只是说了加法和乘法应该遵循的规则，而这些规则我们在学校早已经学过了。区别在于，在学校时，我们学的是实数如何运算，现在我们将这些作为公理化的需求。实数之所以称为实数，是因为它们按照上面的要求工作。
域公理第二部分：顺序
这个公理是说明这样一个事实：实数是有序的。从根本上来说，这是一种正式说法：有两个实数，其中一个小于另外一个，除非它们相等。
■（R，≤）是全序：
1.对于所有的实数a和b，要么a≤b，要么b≤a（或者两者都成立，记a=b）。
2.“≤”具有传递性，即如果有a≤b和b≤c成立，那么有a≤c成立。
3.“≤”不具有对称性，即如果a≤b并且a≠b，那么b≤a不成立。
■“≤”与“+”和“×”是相兼容的：
1.如果有x≤y成立，那么x+1≤y+1成立。
2.如果有x≤y成立，那么对于所有0≤z，（x×z）≤（y×z）成立。
3.如果有x≤y成立，那么对于所有z≤0，（y×z）≤（x×z）成立。
域公理第三部分：连续性
现在，我们开始介绍最难理解的一个公理。实数有一个比较难理解的地方就是它是连续的，意思是说，给定任意两个实数，在它们中间都有无限个数。并且在这个无限的实数集合里，全序仍然成立。为了描述这一点，我们不得不介绍一个概念——上界：
■对于R的任意非空子集S，如果S有一个上界，那么它就有一个最小上界 l。因此，对于任意实数x，如果它是集合S的上界，那么有l≤x成立。
这里真正想要说的是：如果你选了一堆实数组成一个集合，不管它们之间相隔多么接近，或者多么遥远，总存在一个最小的数，大于所有集合里面的数。
其实，这是实数公理化定义的简要版本。它描述了实数应有的性质，而且通过一种形式的、逻辑的陈述来表述。符合这个描述的值的集合，统称为这个定义的模型，可以找到很多符合这个定义的模型，所有符合该定义的模型都是等价的。
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