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函数的本质是什么？
优质回答：
先给答案：函数的本质，是揭示事物的对立统一规律。没有哪个规律可以跳出对立统一法则，也没有哪个规律不可以函数表述。
数学是物理的武器；函数是数学的灵魂。有了函数，就有了科学与技术的辉煌成就。函数表达力是科研人的生命力，函数表达式是科学与技术的第一标签。以下分享函数的解读。
函数的基本意思
函数，有两个语境，其一泛指函数思维(方法论)，其二特指应[因]变量(dependent)。
函数的英文function，本意是“功能”。似乎看不出功能与函数有什么联系。这里的逻辑链是酱紫的：
功能→效能→效应→对应→呼应→反映→映射→函数，即自变量与因变量的一一对应关系，这是函数方法的基本含义，即函数的外延。
在反映变量之间的对应关系时，有一个极为重要的核心概念——系数(或当量)。
什么叫系数？系数的英文是coefficience。字面意思是“协同效应值”或“协变常数”。
系数反映变量之间关系所适用的特定条件或其它相对稳定的参量。换言之，变量之间的关系，取决于特定条件。
例1. 波速=波长×波频，即：c=λf，或λ=c/f，函数意思是：波长与波频成反比。
系数c叫速度常数，取决于不同的介质。在真空介质中，有光速：c=299794285米/秒。在空气介质中，有音速：c=(341+0.6T)米/秒。
例2. 质子的惯性势能与真空场(引力波)频率成正比，即：Ep(=mc2)=hf。
这有点泛函(函数套函数)味道：惯性势能与粒子质量成正比，与粒子质量场的频率成正比。
这里有两个系数：c2与h。c2强调粒子必须以光速自旋，普朗克常数h强调唯有亚原子才适合这个公式。
函数的表达方式
函数的标记是f()，有时干脆简化为f。也可用其它字母表示，如：波函数ψ(x，t)或ψ。
f(x)叫一元或一维函数，f(x，y)叫二元或二维函数，f(r，θ)=re^iθ叫复变函数。f(g())叫复合函数或泛函=函数的函数(functional(function))。M(z)叫莫比乌斯函数。f(x)=limsinx/x叫极限函数，f(sinx，cosx)叫傅里叶函数，f(dx)叫微分函数，f(a，b)=?f(x)dx，叫定积分函数。
对现象或效应的变量关系，用物理逻辑解释清楚，设定变量符号与量纲，指出引用函数的出处，通过严密的数学推导，最终给出函数关系式，这是科研人起码的基本功。
函数关系表达式，简称函数式，也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是对等方式。理解函数式的物理意义有时是很难的。
例3. 薛定谔方程或函数：i(h/2π)dψ/dt=Hψ，意义：①i=-1?单位1虚数化即逆时针旋转?π，②h/2π是半径化普朗克常数，③量子波函数ψ(x，y，z，t)，④H=H(ijk)=ix’+jy’+kz’是三维基矢(i，j，k)的1阶偏导数的矢量和。
函数反映的是对立统一法则
函数是一种关系。关系是复杂的。历时性关系，叫纵向关系。共时性关系，叫横向关系。
函数关系的异名同义说法有：逻辑关系、因果关系、对应关系、量化关系、定量关系、当量关系、量纲关系、映射关系、投影关系、迭代关系(递推)、拓扑关系、辩证关系或对立统一关系或超对称关系(supersymmetry)。
迭代函数(iteration)是尤其用于在分形学和动力学中深入研究的软件系统工具，是重复的与自身复合的周期函数，本质上依然是对立统一法则。
例4. 全面质量管理理论的PDCA循环单元，是一个从设计(plan)到行动(do)到控制(control)到实现(action)的抽象过程。设计与实现是对立统一的节点(P*A)：PDCA→PDCA→PDCA……
例5. Fibonacci Sequence斐波那契数列是数0、1、1、2、3、5、8、13…可做迭代函数化的操作，定义为： f(0)=0，f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2，n∈N)。
拓扑关系是基于连通性的抽象性的投影关系，是把“万变不离其宗”解读为函数关系，尤其是把高维关系投影为低维关系，高维与低维也可以理解为一种对立统一关系。
▲就拓扑关系而言，魔鬼与神仙与各色人等，没什么两样。SO EVERYBODY IS AN ACTOR ON THE WORLD.
例6.我们看到的太阳，总是三维的太阳发射的光在肉眼中的二维投影，感觉的“圆盘”与真实的“圆球”是一种超对称的投影关系。
例7. 把三维的电子云分布，拓扑(投影)为二维的电子云分布，进而大大简化复杂性。
超对称关系，当然包括迭代关系与拓扑关系，也是把“对立统一规律”解读为函数关系。
对立统一规律泛指：互为因果、相辅相成、相互制衡。超对称思维是物理逻辑的最高境界。
例8. 万有引力F(m，R)=Gm?m?/R2中，分子(m?m?)与分母(R2)是质量乘积效应与真空场的超对称。G是超对称系数。
例9. 在库仑定律F(q，R)=kq?q?/R中，分子(q?q?)与分母(R2)是电荷效应与真空场效应之间的超对称。k是超对称系数。
例10. 在热力学第一定律Ek(=?mv2)=1.5kT中，左边动能?mv2与右边温度(T)是超对称，k是玻尔兹曼常数或超对称系数。
例11. 复函数z(r，θ)=re^iθ，同样蕴含了超对称关系。在用复平面z(r，θ)描述欧氏二维空间某个元素时，复函数的模变量r的几何意义是该元素的径向伸缩(简称伸)，复函数的角变量θ的几何意义是该元素的切向扭转(简称扭)。
复函数的伸与扭是一种超对称关系。这不禁使我们联想到，电子自旋(扭)由于轴向转动惯量不均衡必然导致轴倾斜而发生进动(伸)；
与此同时，电子的切向运动反映电子惯性离心力(伸)与电子的绕核运动(扭)，是一种相互制衡的超对称关系，蕴含的是对立统一法则。
▲如果这是一个星系空间元素分布的全局性景观，那么我们可以写出一个简明扼要的函数。
结语
人类认识事物的结构分布与运动变化，归根结底，是在寻找一种关系。对关系量化处理的形式就是函数。
在数学家眼里，函数是自变与应变之间的一一对应的关系；在物理学家眼里，函数是描述效应的方程；在哲学家眼里，函数折射的是超对称关系或对立统一法则。
其他网友回答
谢谢邀请，直奔主题，我是“逃学博士”。
函数的来源
如果给你一个函数 y = 5x， 这到底是什么意思呢？其实生活中你就可以总结出来，大米￥5块一斤，我买一斤得付5块钱，两斤付10块（2 * 5），以此类推。那么，
付的钱 = 5 * 米的斤数
当我们不确定我们要买多少斤的时候，我们用一个字母x去代替这个模糊的数，表达如下：
付的钱 = 5 * x 那么x是什么呢？他依然是数，准确的说是数的集合。 如果我们只关注等式右边的5 * x， 那这是“代数”的思考范畴。
但是当我们把付的钱看成是y或者f(x)的时候，y = 5x就是函数了。这是函数发展的一个缩影。
函数到底是什么呢？
首先要弄得因变量和自变量，还是上面的例子，米的斤数x我们可以随便买，但是当x变化的时候，所付的钱数y就得跟着变化。那么，x就自变量（自己变化的量），y就是因变量（因为外界的变化而变化的量）。
这样去理解：男生追女生的时候说：“我会为了你而改变”。虽然大部分的男生只是随口说说，根本不会去这么干。但是这句话里面，男生和女生的关系是什么呢？女生就是自变量，男生是因为女生才改变的，所以男生是因变量。
函数y = f(x)最最本质的定义时，任意一个自变量x都对应一个因变量y。“一一对应”有时候会给学习函数带来很多的困惑。
任意一个自变量x都对应一个因变量y。记住这句话就够了。
例子：y = x 是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。x = 1， y也等于1；
y = x ^ 2是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。 x = 1， y = 1; x = -1， y = 1。 我们只能说y是x的函数，但是反过来呢，y = 1是不是可以对应两个x = 1或者-1。那么x就不是y的函数。
x^2 + y^2 = 1， 这个图形画出来是个圆。那么x，y之间有函数关系吗。答案是没有。为什么？以为当x取任意一个有效值的时候，y都有两个值对应，比如x = 0， y = 1或者-1；反之亦然。那么我们就说x，y没有函数关系。
怎么去理解呢？举个不恰当的例子 – 古时候的“一夫多妻”，一个丈夫可以有多个妻子，但是妻子只能有一个丈夫。那么，妻子就是x，丈夫就是y。
函数曾经拯救了数学
曾今就有人争论说，到底正整数（1，2，3，4， 5…）和正偶数（2，4，6，8，10…）那个数多呢？
你的答案是什么呢？直觉上来说正整数的个数要多于正偶数。因为正整数里还有奇数的存在。
但是有的人就会说，正偶数看做y，正整数看做x，那么他们的关系是：y = 2x；也就是说正整数中任意一个数字通过乘以2都可以在正偶数里找到。1 – 2， 2- 4， 3 -6；
那么，由于函数的对应关系，可以总结出不管正整数有多少个，正偶数都可以相应的匹配多少个。那就是说，正整数的个数和正偶数的个数相等。
是不是绕进去了。没关系。函数就是个对应关系。任意一个自变量x都对应一个因变量y。上面这道题本身就是有问题的，怎么去数无穷的个数呢？都告诉你无穷了，有限定的个数还叫无穷吗？
这就是“有穷思想”和“无穷思想”的区别？以后有机会讲讲微积分。
“逃学博士”，天天有料，喜欢就关注我。
其他网友回答
函数的本质，就是对应关系。
更广泛的对应关系，称为映射。映射分为单射、满射，及合而为一的双射，也称一一对应。
函数，作为映射的特例，是数与数的对应关系；映射，不必拘泥于数！
函数，很多分类，林林总总，无法归总。
按性质分，有单调函数，凹凸函数，奇偶函数，周期函数，可导函数，可积函数，正则函数，…；
按变量分，有实变函数，复变函数，泛函，…；
按人名分，黎曼函数，柯西函数，狄里克雷函数。
高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
没有函数，就没有现代数学！
其他网友回答
映射关系，对应法则
其他网友回答
不请自来，我是数学漫谈——专注数学教育，传播数学文化，下面谈谈我的认识。
函数是我们接触很早的一个概念，初中阶段我们开始接触函数的概念，从一次函数到反比例函数再到二次函数，到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数。可以说在中学阶段我们一直在和函数打交道。
大学阶段的高等数学或数学分析，研究对象就是函数，还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之一句话如果你一直学习数学的话，你会发现函数是陪伴你最长的概念。
那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有，也并非一成不变的，对于函数的本质，不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说，再到后来的关系说，最后推广到集合范畴。
变量说阶段
古罗马数学家丢番图在《算术》中引入了变量的概念，这是函数概念的萌芽。
函数概念的真正发展是16世纪以后，尤其是微积分的创立，极大的促进了函数概念的产生、发展和完善。
17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念，不过他是用文字和比例的语言来表达的，没有明确的提到函数的概念。
在此之后，解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依赖的关系，最先提出了“变量”的概念。
1665年，牛顿提出了“流数术”，他用“流量”一词描述变量之间的依赖关系。
1673年，数学符号大师——莱布尼茨首次提出了“函数”这一术语，用函数描述随着曲线上的点变化的量。不过最早英文中的“function”并不解释为函数的意思，而是“功能”，除此之外，他还引进了”变量”、”常量”、“参变量”等概念，这些名词一直沿用至今。
以上都是在几何范围内给出的变量之间的依存关系，牛顿和莱布尼茨虽然创立了微积分，但没有给出函数的解析定义。17世纪末以前，人们还没有从普遍意义上认识到函数的本质。
对应说阶段
微积分的创立极大的促进了函数概念的发展，在前人的基础上，1718年，约翰.贝努利对函数概念进行了明确定义，把常数和变量x按任何方式构成的量称为”x的函数”。
18世纪中叶，欧拉给出了函数的符号f(x)，并提出了函数的解析表达式，他认为：“一个变量的函数是由这个变量和常数以任意方式组成的解析表达式”，他还规定了函数在给定的函数的“定义域”内由同一个解析表达式来表示，这标志着函数概念由几何形态转向代数形态。这和我们初等函数的概念已经很接近了。
关系说阶段
函数的概念还在不断的完善和发展，1800年前后，数学分析的严密化对函数概念提出了更高的要求。
1822年，傅里叶发现有些函数可以用曲线表示，也可用一个式子或多个式子来表示，他的发现推动了函数概念又一次发展，结束了函数概念是否用唯一式子表示的争论。
1823年，柯西从定义变量角度给出了函数的概念，并给出了变量和自变量的定义，他认为无穷级数是定义函数的有效方法，但函数不一定有解析表达式。
1837年，狄利克雷给出了函数的定义：“若多x的每一个值，有晚去确定的y 值与之对应，则不管对应方式如何，都成为y对x的函数”。狄利克雷给出的函数定义已经和我们现在教科书中的定义很吻合了。
集合论下的函数
康托尔创立了集合论，人们把函数的定义域由数推广到集合上。
1887年，戴德金给出了系统S上的一个映射蕴含了一个规则，依此规则，S中的每一个元素都对应着一个确定的对象，S称为映像。这是函数概念的扩充。
随后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义：
“若在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，有这样关系成立，即对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数。”
他把函数的定义域、值域及对应法则进一步具体化。
1939年法国的布尔巴基学派给出完善的现代函数的定义：
“设Ｅ和Ｆ是两个集合，它们可以不同也可以相同。Ｅ中的一个变元x和Ｆ中的变元y之间的一个关系称为一个函数，如果每一个x∈Ｅ，都存在唯一的y ∈Ｆ，它满足x的给定关系。”结语
结合以上函数概念发展的历程，我们不难看出，随着科学的不断进步，函数的概念也在不断完善，目前中学和高等数学上的函数是基于实数范围内的，可以理解为：对于任意一个非空集合的自变量x，通过对应法则f，都能找到唯一确定的y与之对应，那么y是关于x的函数。但除了实数范围内的函数，我们还有复变函数（复数范围内的）、实变函数、泛函分析、点集拓扑等和函数有关的学科。
